MEMÓRIA: DE ESCOLA NADA SE PERDE, TUDO SE RECUPERA

Um dia, eu, Atari Estrênuo, numa sala de aula de matemática, cansado de assistir a aula e de ouvir professor falar de um mais um igual a zero; rasgando inconscientemente a minha concepção sobre a adição [+]. Não queria lhe ouvir mais falar sobre a subtração [-], ou, vezes [ x], talvez, para não piorar o meu momento de aula como tantos outros entre os quais já tinha vivido ao longo do meu percurso acadêmico, resolvi apertar os meus ouvidos para não o escutar falar. Em virtude disso, resolvi falar para o meu colega, que estava sentado a um metro à minha frente, a seguinte maneira: “Eu já estou cansado de ouvir tantas mentiras nesta aula de matemática, o melhor é a gente arrumar uma outra área para cursar”. E ele retrucou-me: “o que é? Você é tão bom em matemática; eu é que não sei nada sobre a matemática, sou improdutivo em matemática. Portanto, você deveria continuar a estudar a matemática, um dia você acolherá bons frutos de seus trabalhos”. Quando, acabei de ouvir o colega e cogitar sobre a sua premissa, decidi perguntar ao meu professor de matemática, Rómulo Diaz, que ainda se encontrava na sala de aula, a seguinte modo: “ Professor, você falou de que um mais um igual a zero, porquê? Eu acreditava que um mais um era para ser igual a dois. E ele respondeu-me: um mais um poderia ter o resultado final igual a zero ou dois, dependendo do espaço de trabalho e estrutura algébrica baseada em certos axiomas, por exemplo:

   Em seguida, perguntei-lhe: o que seria, então, axioma? Ele respondeu-me, descomedidamente, a seguinte adequação: Axioma é uma premissa considerada necessariamente evidente e verdadeira, fundamento de uma demonstração, porém, ela, a premissa, é mesma indemonstrável, originada, segundo a tradição racionalista, de princípios inatos da consciência ou, segundo os empiristas, de generalizações da observação empírica, o princípio aristotélico da contradição (“nada pode ser e não ser simultaneamente”) foi considerado desde a antiguidade um axioma fundamental da filosofia.

Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução de outras verdades (dependentes de teoria).

Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas). Em muitos contextos, “axioma”, “postulado” e “hipótese” são usados como sinônimos.

Como foi visto na definição, um axioma não é necessariamente uma verdade autoevidente, mas apenas uma expressão lógica formal usada em uma dedução, visando obter resultados mais facilmente. Axiomatizar um sistema é mostrar que suas inferências podem ser derivadas a partir de um pequeno e bem definido conjunto de sentenças. Isto não significa que elas possam ser conhecidas independentemente, e tipicamente existem múltiplos meios para axiomatizar um dado sistema (como a aritmética). A matemática distingue dois tipos de axiomas: axiomas lógicos e axiomas não-lógicos.

Nas teorias das ciências naturais, um axioma é considerado uma verdade evidente que e é aceita como tal, mas que ao rigor da palavra não pode ser demonstrado ou provado uma verdade absoluta dentro do domínio de sua aplicação; é geralmente derivado de intuição ou de conhecimento empírico, os quais apoiam-se em todos os fatos científicos até então conhecidos e relevantes à área em estudo. A viabilidade ou utilidade de tais teorias, e a classificação das mesmas como teorias científicas válidas ou já aprimoradas, todas sempre logicamente derivadas de forma correta de suas premissas (dos axiomas), dependem das escolhas acuradas de seus axiomas e da corroboração dos mesmos frente aos fatos científicos conhecidos na época em que foram propostos, e frente aos que forem gradualmente descobertos em épocas futuras às suas proposições. Fatos novos, ao serem descobertos, podem levar à evolução das teorias mediante necessidade explicita de modificações em seus axiomas, que, conforme propostos no paradigma científico evoluído e ora válido, devem manter-se sempre corroborados pela íntegra dos fatos científicos conhecidos até a data em questão.

Na engenharia, axiomas são aceitos sem provas formais e suas escolhas são negociadas a partir do ponto de vista utilitário e econômico. Podem também ser considerados como hipóteses na modelagem e mudados depois da validação do modelo. Declarações explícitas de axiomas é uma condição necessária para a computabilidade de uma teoria, modelo ou método. Neste caso, o axioma pode ser visto como um conceito relativo dependente de domínio, por exemplo, em cada programa de software, declarações iniciais podem ser consideradas como seus axiomas locais.

A palavra “axioma” vem da palavra grega ἀξίωμα (axioma), um substantivo verbal do verbo ἀξιόειν (axioein), que significa “considerar valido”, mas também “requerer”, que por sua vez vem da palavra ἄξιος (axios), que significa “estar em equilíbrio”, e, portanto, “ter (o mesmo) valor (de)”, “valido”, “apropriado”. Entre os filósofos da Grécia Antiga, um axioma era uma afirmação que poderia ser vista como verdade sem nenhuma necessidade de provas. O significado original da palavra “postular” é “exigir”; por exemplo, Euclides exige que concordemos que certas coisas podem ser feitas, por exemplo: quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma linha reta, etc. Os antigos geômetras mantiveram alguma distinção entre axiomas e postulados. Ao comentar os livros de Euclides, Proclo adverte que “Geminus considerou que este [4º] Postulado não deve ser classificado como um postulado e sim como um axioma, já que, diferente dos três primeiros Postulados, ele não declara a possibilidade de alguma construção, mas sim expressa uma propriedade essencial”. Boécio traduziu “postulado” como petitio e chamou os axiomas de notiones communes, mas em manuscritos posteriores esse uso nem sempre foi estritamente mantido.

O método lógico-dedutivo clássico consistia em sistemas a partir dos quais premissas eram seguidas de conclusões através da aplicação de argumentos (silogismos, regras de inferência). Com exceção das tautologias, nada pode ser deduzido se nada é assumido. Axiomas e postulados são hipóteses básicas subjacentes a um corpo de conhecimento dedutivo. São aceitos sem demonstração. Todas as outras asserções (teoremas, se estivermos falando sobre matemática) devem ser demonstradas com o auxílio de hipóteses básicas. No entanto, a interpretação do conhecimento matemático mudou dos tempos antigos para o moderno, e consequentemente os termos axioma e postulado tiveram uma leve diferença de significado para os matemáticos atuais, em contraste com o significado original destes termos para Aristóteles e Euclides.

Os antigos gregos consideraram a geometria como uma das diversas ciências, e consideraram os teoremas de geometria tão importantes quanto fatos científicos. Dessa forma, eles desenvolveram e usaram o método lógico-dedutivo como um meio de evitar erros, e para conhecimento estrutural e comunicativo. Os analíticos posteriores de Aristóteles é uma exposição definitiva da visão clássica. Um “axioma”, na terminologia clássica, refere-se a uma hipótese autoevidente comum a vários ramos de ciência. Um bom exemplo seria a asserção que

Quando é retirada uma de duas quantias iguais, sobra uma quantia igual à que foi retirada. Na fundação de várias ciências são impostas certas hipóteses adicionais que são aceitas sem demonstração. Estas eram denominadas postulados. Enquanto os axiomas eram comuns a várias ciências, os postulados para cada ciência particular eram diferentes. Sua validade tinha que ser estabelecida por meio de experiências reais. De fato, Aristóteles alertou que a satisfabilidade de uma ciência não pode ser transmitida com sucesso, se o aprendiz estiver em dúvida sobre a veracidade dos postulados. A visão clássica é bem ilustrada pelos elementos de Euclides, onde uma lista de axiomas (muito básicas, asserções autoevidentes) e postulados (fatos geométricos do senso comum obtidos de nossa experiência), são dados.

Axioma 1: Duas coisas iguais a uma terceira, são iguais entre si.

Axioma 2: Se parcelas iguais forem adicionadas a quantias iguais, os resultados continuarão sendo iguais.

Axioma 3: Se quantias iguais forem subtraídas das mesmas quantias, os restos serão iguais.

Axioma 4: O todo é maior que a parte.

Postulado 1: Uma reta pode ser traçada de um ponto para outro qualquer.

Postulado 2: Qualquer segmento finito de reta pode ser prolongado indefinidamente no sentido da reta.

Postulado 3: Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se traçar um círculo de centro naquele ponto e raio igual à dada distância.

Postulado 4: Todos os ângulos retos são iguais entre si.

Postulado 5: Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos interiores, de um mesmo lado, seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas, do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos.

Uma visão Geral

Uma lição aprendida através da matemática nos últimos 150 anos é que é útil decifrar o significado das asserções matemáticas (axiomas, postulados, proposições, teoremas) e definições. Esta abstração, que poderia até ser chamada de formalização, faz o conhecimento matemático mais genérico, capaz de múltiplos diferentes significados e, portanto, útil em múltiplos contextos. O estruturalismo matemático vai mais adiante, e desenvolve teorias e axiomas sem uma aplicação particular em mente. A distinção entre um “axioma” e um “postulado” desaparece. Os postulados de Euclides são provavelmente considerados por fornecerem uma rica coleção de fatos geométricos. A verdade desses fatos complicados está na aceitação de hipóteses básicas. Entretanto, excluindo o quinto postulado de Euclides, obtemos que estes possuem significados em diversos contextos (geometria hiperbólica, por exemplo). Devemos simplesmente estar preparados para usar nomes como “linha” e “paralelo” com uma maior flexibilidade. O desenvolvimento da geometria hiperbólica ensinou aos matemáticos que postulados podem ser considerados como hipóteses puramente formais, e não como fatos baseados na experiência.

Quando matemáticos empregam os axiomas de um campo, as intenções são mais abstratas. As proposições da teoria de campos não interessam a alguma outra aplicação em particular. Os matemáticos agora trabalham em completa abstração. Há muitos exemplos de campos. A teoria de campos garante que o conhecimento sobre eles é correto. Não é correto dizer que os axiomas ou a teoria de campos são “proposições que são consideradas como verdade sem nenhuma derivação”. O campo de axiomas é um conjunto de restrições. Se um dado sistema de adição e multiplicação satisfaz estas restrições, então o campo está pronto para nos dar informações extras sobre esse sistema. A matemática moderna formaliza seus fundamentos de tal modo que as teorias podem ser consideradas objetos matemáticos, e a lógica por si só pode ser considerada como um ramo da matemática. Frege, Russell, Poincaré, Hilbert e Gödel são personagens-chave nesse desenvolvimento. Na visão moderna, um conjunto de axiomas é uma coleção de asserções formalmente estáveis das quais se seguem outras asserções formais estáveis pela aplicação de certas regras bem definidas. Nesta visão, a lógica se torna apenas um outro sistema formal. Um conjunto de axiomas deve ser consistente, ou seja, deve ser impossível derivar uma contradição de um axioma. Um conjunto de axiomas não deve ser redundante, isto é, uma asserção que pode ser deduzida de outros axiomas não precisa ser considerada um axioma. A esperança dos lógicos modernos era que vários ramos da matemática, senão todos, pudessem ser derivados de uma coleção consistente de axiomas básicos. Um sucesso do programa formalista foi a formalização de Hilbert da Geometria Euclidiana e a demonstração da consistência destes axiomas.

Ampliando o contexto, houve uma tentativa de basear toda a matemática na teoria dos conjuntos de Georg Cantor. Neste ponto, levando em consideração o Paradoxo de Russell e a teoria ingênua dos conjuntos viu-se a possibilidade de algum sistema poder se tornar inconsistente.

O projeto formalista sofreu uma derrota decisiva, quando em 1931 Gödel mostrou que é possível, para um suficientemente grande conjunto de axiomas (Axiomas de Peano, por exemplo), construir uma hipótese que seja verdadeira independentemente deste conjunto de axiomas. Como corolário, Gödel provou que a consistência de uma teoria como a Aritmética de Peano é uma asserção improvável dentro do escopo desta teoria. É razoável acreditar na consistência da Aritmética de Peano porque ela é satisfeita pelo sistema de números naturais, um infinito, mas intuitivamente acessível sistema formal. Entretanto, até hoje, não há um modo conhecido de demonstrar a consistência dos modernos axiomas de Zermelo-Frankel para a teoria dos conjuntos. O axioma da escolha, uma hipótese-chave desta teoria, permanece uma hipótese muito controversa. Além disso, usando técnicas de forçar (Cohen), pode-se mostrar que a hipótese contínua (Cantor) é independente dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. Desta forma, mesmo este conjunto genérico de axiomas não pode ser considerado como uma base definitiva para a matemática.

Lógica Matemática: axiomas Lógicos

Axiomas Lógicos são fórmulas em uma linguagem que é universalmente válida, ou seja, são fórmulas satisfeitas por toda a estrutura sob toda função de tarefa de variáveis. Em outros termos, axiomas lógicos são estados que são verdadeiros em algum possível universo, para alguma possível interpretação e com alguma tarefa de valor. Normalmente eles usam axiomas lógicos para um mínimo conjunto de tautologias que é suficiente para provar todas as tautologias na linguagem; na lógica de primeira ordem o axioma lógico é necessário para provar verdades lógicas que não são tautologias no sentido rígido.

Lógica Proposicional

Na lógica proposicional é comum considerar como axiomas lógicos. Portanto, a matemática, nos momentos iniciais, pode nos aparecer colidente expressamente, porém, no momento que recorremos à demonstração matemática, o seu método cientificamente aceite, daí que se torna elegante e fácil à sua compreensão. De escola, desde os nossos primeiros momentos até onde paramos de a frequentar nada esquecemos, mas, recuperamos, de vez em quando, esta vivência passada, a memória, os fatos passados, vividos e experimentados. A matemática, sim, continua a ser a nossa companheira como sempre até para o enfrentamento do isolamento social, devido à pandemia do coronavírus (Covid-19).

 

Referência
Axioma. Disponível em :<https://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma>. Acesso em: 08 jun. 2020.